Persamaan Schrodinger Tidak Bergantung Waktu ~ Let's Playing Physics with Jhinie's Blog

Untuk sumur potensial tak berhingga danosilator harmonik memiliki solusi yang ternormalisasi, dan ditandai dengan indeks diskret n, untuk partikel bebas, solusinya tidak ternormalisasi, dan ditandai dengan variabel kontinu k. Kasus yang pertama (sumur potensial tak berhingga dan osilator harmonik) menggambarkan keadaan yang dapat tercapai secara fisis pada batasannya, sedangkan yang kedua (partikel bebas) tidak, tetapi pada kedua kasus, solusi umum dari persamaan Shroedinger-tidak bergantung waktu merupakan kombinasi linier dari keadaan stasioner, pada kasus pertama, kombinasi liniernya dalam bentuk penjumlahan ( $\sum$ ) sepanjang nilai n, sedangkan yang kedua merupakan bentuk integral (sepanjang k). Tetapi apakah sebenarnya arti fisis dari perbedaan ini?

Dalam mekanika klasik, potensial tidak bergan

tung waktu satu dimensi memberikan dua gerak yang cukup berbeda. jika ketinggian $V(x)$ lebih tinggi dari pada energi total E pada kedua sisinya (Gambar 2.7a), maka partikel akan terjebak di dalam dinding potensial, partikel akan turun kembali setelah mendekati titik balik (turning point) dan akan begitu seterusnya, tetapi partikel tidak akan dapat keluar dari dinding potensial (kecuali kalau, kita memberikan tembahan energi, seperti dengan sebuah motor, tetapi kita tidak membicarakan mengenai hal ini). Kita menyebut ini dengan keadaan terikat (Bound State). Pada sisi lain, jika E melebihi $V(x)$ pada salah satu sisi (atau keduanya), maka partikel datang pada titik “tak terhingga”, maka partikel akan bergerak melambat atau semakin cepat di bawah pengaruh dari potensial, dan kembali ke “tak terhingga” (Gambar 2.7b). (Partikel tidak akan terjebak ke dalam potensial kecuali kalau terdapat suatu mekanisme, seperti gesekan untuk menghilangkan energi, tetapi sekali lagi kita tidak membicarakan mengenai hal ini). Kita menyebut hal ini deangan keadaan terhambur (scattering state). Beberapa potensial hanya berlaku untuk keadaan terikat saja (misalnya, osilator harmonik), dan beberapa yang lainnya hanya untuk keadaan hamburan saja (misalnya sebuah bukit potensial tanpa lubang didalamnya), beberapa lagi berlaku keduanya, bergantung pada energi partikel.

Gambar 2.7: (a) Keadaan terikat. (b) Keadaan hamburan. (c) keadaan terikat klasik tetapi keadaan hamburan kuantum

Seperti yang telah kita perkirakan, dua macam solusi persamaan Shroedinger tidak bergantung waktu dengan tepat sesuai dengan keadaan terikat dan hamburan. Perbedaannya lebih jelas pada ranah kuantum, karena fenomena tunneling (yang akan kita bahas sebentar lagi) mengijinkan partikel untuk “menembus” ke dalam potensial barier berhingga, maka dari itu, satu-satunya permasalahannya adalah potensial yang tak berhingga (Gambar 2.7c):

[2.91]

$\begin{cases} E < V(-\infty) \text{dan} V(+\infty) & \Rightarrow \text{keadaan terikat} \\ E > V(-\infty) \text{atau} V(+\infty) & \Rightarrow \text{keadaan terhambur} \end{cases}$ ,

Dalam “kehidupan nyata” semua potensial akan habis pada titik tak berhingga, pada kasus ini dapat dengan sederhana dinyatakan dengan:

[2.92]

$\begin{cases} E < 0 & \Rightarrow \text{keadaan terikat} \\ E > 0 & \Rightarrow \text{keadaan terhambur} \end{cases}$ ,

Karena potensial pada sumur potensial tak berhingga dan osilator harmonik menjadi tak berhingga pada $x \to \pm \infty$ , keduanya hanya berlaku keadaan terikat saja, selain itu, karena potensial partikel bebas adalah nol di mana-mana, maka untuk potesial partikel bebeas hanya berlaku keadaan hamburan[13]. Pada subbab ini (dan juga berikutnya) kita sebaiknya memeriksa potensial yang menghasilkan kedua jenis keadaan.

Fungsi delta Dirac, $\delta (x)$ , didefinisikan secara informal seperti di bawah ini:

[2.93]

$\delta (x) = \begin{cases} 0, & \text{ jika } x \neq 0 \\ \infty, & \text{ jika } x = 0 \end{cases}$ dengan $\int_{- \infty}^{+ \infty} \delta (x) dx = 1$ .

Gambar 2.8 Fungsi Delta Dirac (Persamaan 2.93)

Mempunyai ketinggian tak terhingga, dengan lebar yang sangat sempit terletak di pusat koordinat, dan dengan luas area 1 (Gambar 2.8). Teknisnya, ini bukanlah sebuah fungsi karena nilainya tak terhingga pada $x = 0$ (matematikawan menyebut ini dengan fungsi tergeneralisasi atau distribusi).[14] Meskipun demikian, ini sangat berguna untuk membangun fisika teori. (Misalnya, dalam elektrodinamika, rapat muatan dalam muatan titik adalah sebuah fungsi delta.) Ingat bahwa $\delta (x-a)$ adalah merupakan sebuah fungsi sinyal tajam dengan luas area 1 pada titik a. Jika kita mengalikan $\delta (x-a)$ dengan sebuah fungsi $f(x)$ , adalah sama apabila kita mengalikannya dengan $f(a)$ :

[2.94]

$f(x)\delta(x-a) = f(a)\delta(x-a)$ ,

karena perkalian produknya adalah nol disetiap titik kecuali pada titik a. Dengan kata lain,

[2.95]

$\int_{- \infty}^{+ \infty} f(x)\delta(x-a)dx = f(a)\int_{- \infty}^{+ \infty} \delta(x-a)dx = f(a)$ .

Itu adalah sifat dari fungsi delta yang paling penting: Di bawah tanda integral, itu akan mengangkat nilai $f(a)$ pada titik a. (Tentunya, integral sebenarnya tidak membutuhkan batas dari $-\infty$ hingga $+\infty$ , semua itu hanyalah merupakan domain integrasi pada titik a, maka nilai $a - \in$ hingga $a + \in$ , untuk setiap $\in > 0$ .)

Sekarang marilah kita misalkan potensial dalam bentuk:

[2.96]

$V(x) = - \alpha \delta (x)$ ,

Di mana $\alpha$ adalah sebuah kontanta. Ini adalah potensial buatan (sumur potensial juga demikian), tetapi ini sederhana, dan cukup mendekati keadaan nyata dari pada bentuk potensial lain yang telah kita pertimbangkan sebelumnya. Persamaan Shroedinger kemudian menjadi:

[2.97]

$- \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} - \alpha \delta (x) \psi = E \psi$ .

Potensial ini menghasilkan keadaan terikat $(E 0)$ , kita akan mendiskusikan lebih dulu untuk kasus keadaan terikat.

Pada daerah $x < 0$ , dan $V(x) = 0$ , maka

[2.98]

$\frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} = - \frac{2mE}{\hbar^{2}} \psi = \kappa^{2} \psi$ ,

di mana

[2.99]

$\kappa \equiv \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}$ .

(Dengan asumsi bahwa E adalah negatif, maka $\kappa$ bersifat real dan positif.) Solusi umum dari Persamaan 2.98 adalah

[2.100]

$\psi (x) = A e^{-\kappa x} + B e^{\kappa x}$ ,

Tetapi bagian pertama akan menjadi tak terhingga pada $x \to - \infty$ , maka kita harus memilih A = 0:

[2.101]

$\psi (x) = B e^{\kappa x}$ untuk $(x < 0)$ .

Jika pada daerah $x > 0$ , $V(x)$ akan kembali lagi bernilai nol, dan solusi umumnya adalah $F exp (- \kappa x) + G exp (\kappa x)$ ; kali ini bagian kedua yang menjadi tak terhingga pada $x \to + \infty$ , oleh karena itu

[2.102]

$\psi (x) = F e^{\kappa x}$ untuk $(x > 0)$ .

Dua fungsi tersebut dapat digabungkan menjadi sebuah fungsi bersama, menggunakan syarat batas yang tepat pada $x = 0$ . Saya memberikan kutipan lebih awal syarat batas standard untuk $\psi$ :

[2.103]

$\begin{cases} \text{1. } \psi \text{ selalu kontinu, dan } \\ \text{2. } d \psi / dx \text{ adalah kontinu kecuali pada titik } \\ \text{ di mana potensialnya tak terbatas } \end{cases}$ .

Pada kasus ini syarat batas yang pertama mengatakan kepada kita bahwa F = B, maka

[2.104]

$\psi (x) = \begin{cases} B e^{\kappa x}, & \text{untuk } (x \leq 0) \\ B e^{- \kappa x}, & \text{untuk } (x \geq 0) \end{cases}$ .

[Sketsa grafik $\psi (x)$ dapat dilihat dalam gambar 2.9.] Syarat batas yang kedua tidak memberikan petunjuk apa-apa kepada kita, ini adalah kasus pengecualaian di mana V adalah tak terhingga pada titik gabungan (mirip dengan sumur potensial tak berhingga), dan dengan jelas pada grafik bahwa fungsi ini memiliki titik temu pada $x = 0$ . Selain itu, hingga titik ini fungsi delta belum juga muncul sampai saat ini. Dengan jelas, fungsi delta harus menentukan diskontinuitas dalam turunan $\psi$ , pada $x = 0$ . Akan kita sajikan kali ini bagaimana fungsi delta bekerja, dan kita akan melihat mengapa $d \psi / dx$ sebenarnya adalah kontinu.

Gambar 2.9. Fungsi gelombang keadaan terikat untuk potensial fungsi delta (Persamaan 2.104)

Idenya adalah dengan mengintegrasikan persamaan Shroedinger, dari $-\epsilon$ hingga $+\epsilon$ , dan kemudian mengambil limit pada $\epsilon \to 0$ :

[2.105]

$- \frac{\hbar^{2}}{2m} \int_{-\epsilon}^{+\epsilon} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} dx + \int_{-\epsilon}^{+\epsilon} V(x) \psi (x) dx = E \int_{-\epsilon}^{+\epsilon} \psi (x) dx$ .

Integral yang pertama hilang, yang tersisa hanyalah $d \psi / dx$ , terevaluasi pada kedua titik akhir, integral yang terakhir nol, dalam limit $\epsilon \to 0$ , selama area perpotongannya dengan lebar yang tipis dan tinggi yang berhingga. Dengan demikian

[2.106]

$\Delta \left ( \frac{d \psi}{dx} \right ) = \frac{2m}{\hbar^{2}} \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\epsilon)}^{+\epsilon} V(x) \psi (x) dx$ .

Sebenarnya, limit pada sebelah kanan sekali lagi nol, dan kemudian $d \psi / dx$ menjadi kontinu. Tetapi ketika $V(x)$ adalah tak terhingga pada batas tersebut, maka argumen tersebut runtuh. Sederhana saja, jika $V(x) = -\alpha \delta (x)$ , Persamaan 2.95 menghasilkan

[2.107]

$\Delta \left ( \frac{d \psi}{dx} \right ) = \frac{2m \alpha}{\hbar^{2}} \psi (0)$ .

Untuk kasus yang kita hadapi (Persamaan 2.104),

$\begin{cases} d \psi / dx = -B \kappa e^{-\kappa x}, & \text{untuk } (x > 0) \text{maka } d \psi / dx |_{+} = - B \kappa, \\ d \psi / dx = +B \kappa e^{+\kappa x}, & \text{untuk } (x < 0) \text{maka } d \psi / dx |_{-} = + B \kappa, \end{cases}$

dan oleh sebab itu, $\Delta d \psi / dx = -2B \kappa$ . Dan $\psi (0) = B$ . Maka, dari Persamaan 2.107 dapat dikatakan bahwa

[2.108]

$\kappa = \frac{m \alpha}{\hbar^{2}}$ ,

dan Energi yang diijinkan (Persamaan 2.99) adalah

[2.109]

$E = - \frac{\hbar^{2}\kappa^{2}}{2m} = - \frac{m \alpha^{2}}{2 \hbar^{2}}$ .

Akhirnya, yang harus kita lakukan adalah menormalisasikan $\psi$ :

$\int_{-\infty}^{+\infty} \left | \psi (x) \right |^{2} dx = 2 |B|^{2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\kappa x} dx = \frac{|B|^{2}}{\kappa} = 1$ ,

Maka (dengan memilih akar real positif):

[2.109]

$B = \sqrt{\kappa} = \frac{\sqrt{m \alpha}}{\hbar}$ .

Dengan jelas, dinding fungsi delta berdasarkan pada “kekuatan” $\alpha$ , memiliki satu keadaan terikat:

[2.111]

$\psi (x) = \frac{\sqrt{m \alpha}}{\hbar} e^{-m \alpha |x| / \hbar^{2}} \text{ ; } E = \frac{m \alpha^{2}}{2 \hbar^{2}}$ .

Bagaimana dengan keadaan hamburan, dengan $E > 0$ ? Untuk $x < 0$ Persamaan Shroedinger menjadi

$\frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} = - \frac{2mE}{\hbar^{2}} \psi = -k^{2} \psi$ ,

di mana

[2.112]

$k \equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ .

adalah real dan positif. Solusi umumnya adalah

[2.113]

$\psi (x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx}$ ,

dan kali ini kita tidak dapat melakukan cara yang sama seperti yang pernah kita lakukan pada keadaan terikat, karena kedua bagian dalam Persamaan 2.113 tidak menuju nilai tak berhingga pada $x \to -\infty$ . Hasil yang sama untuk $x > 0$ ,

[2.114]

$\psi (x) = F e^{ikx} + G e^{-ikx}$ .

Kontinuitas $\psi (x)$ pada $x = 0$ mensyaratkan bahwa

[2.115]

$F + G = A + B$ ,

Turunannya adalah

$\begin{cases} d \psi / dx = ik \left ( F e^{ikx} - G e^{-ikx} \right ), & \text{untuk } (x > 0) \text{maka } d \psi / dx |_{+} = ik(F - G), \\ d \psi / dx = ik \left ( A e^{ikx} - B e^{-ikx} \right ), & \text{untuk } (x < 0) \text{maka } d \psi / dx |_{-} = ik(A - B), \end{cases}$

dan oleh sebab itu, $\Delta d \psi / dx = (F - G - A + B)$ . Sementara itu, $\psi (0) = (A + B)$ , maka syarat batas kedua (Persamaan 2.107)

menjadi

[2.116]

$ik(F - G - A + B) = - \frac{2m \alpha}{\hbar^{2}} (A + B)$ ,

atau lebih sederhananya

[2.117]

$F - G = A(1 + 2i \beta) - B(1-2i \beta)$ ,

Dari penentuan syarat batas, sekarang kita menghasilkan dua buah persamaan (Persamaan 2.115 dan 2.117) dengan empat konstanta yang tidak kita ketahui (A, B, F, dan G) atau lima buah apabila kita menghitung nilai k. Normalisasi tidak akan membantu, karena kita tahu bahwa ini adalah keadaan yang tidak ternormalisasi. Mungkin sebaiknya kita berhenti sejenak dan menguji secara fisis semua konstanta tersebut. Perlu diingat bahwa $exp(ikx)$ menandakan untuk fungsi gelombang yang merambat ke kanan (apabila dipasangkan dengan faktor kebergantungan terhadap waktu $exp (-iEt/\hbar)$ , dan $exp(-ikx)$ menandakan fungsi gelombang yang merambat ke kiri. Ini berarti bahwa A (dalam Persamaan 2.113) adalah amplitudo fungsi gelombang yang datang dari arah kiri, B adalah amplitudo fungsi gelombang yang terpantul kembali ke kiri, F (dalam persamaan 2.114) adalah ampliudo fungsi gelombang yang merambat ke kanan, dan G adalah amplitudo fungsi gelombang yang datang dari arah kanan (Gambar 2.10). Dalam model percobaan hamburan partikel yang ditembakkan dari satu arah, katakanlah dari arah kiri. Dalam kasus tersebut, Amplitudo gelombang yang datang dari arah kanan adalah nol:

Gambar 2.10 Hamburan dari dinding potensial fungsi delta

[2.118]

$G = 0$ , (untuk hamburan dari arah kiri)

Maka, A adalah amplitudo gelombang datang (incident wave), B adalah amplitudo gelombang pantul (reflected wave), dan F adalah amplitudo gelombang transmisi(transmitted wave). Dengan menyelesaikann Persamaan 2.115 dan Persamaan 2.117 untuk B dan F, kita dapatkan

[2.119]

$B = \frac{i \beta}{1 - i \beta} A$ , $F = \frac{1}{1 - i \beta} A$ .

(jika kamu ingin mempelajari hamburan yang datang dari arah sebelah kanan, tetapkan A=0, kemudian G adalah amplitudo gelombang datang, F adalah amplitudo gelombang pantul, dan B adalah amplitudo gelombang transmisi.)

Sekarang, probabilitas untuk menemukan partikel pada suatu titik tertentu diberikan oleh $|\Psi|^{2}$ , maka probabilitas relatif[15] bahwa partikel datang akan terpantul kembali adalah

[2.121]

$R \equiv \frac{|B|^{2}}{|A|^{2}} = \frac{\beta}{1 + \beta^{2}}$ .

R dinamakan dengan koefisien refleksi (reflection coefficient). (jika kita memiliki seberkas partikel, ini berarti bahwa fraksi dari jumlahan partikel datang yang akan terpantul kembali.) sementara itu, probabilitas transmisi diberikan oleh koefisien transmisi(transmission coefficient)

[2.122]

$R \equiv \frac{|F|^{2}}{|A|^{2}} = \frac{1}{1 + \beta^{2}}$ .

Tentunya, jumlah dari kedua probabilitas tersebut adalah 1, dan karenanya

[2.123]

$R + T = 1$ .

Ingat bahwa R dan T adalah fungsi dari $\beta$ yang tentunya juga fungsi dari E (Persamaan 2.112 dan 2.117):

[2.123]

$R = \frac{1}{1 + (2\hbar^{2}E/m \alpha^{2})}$ , dan $T = \frac{1}{1 + (m \alpha^{2}/2\hbar^{2}E)}$

Dengan energi yang lebih besar, maka probabilitas transmisi menjadi lebih besar (yang kelihatan lebih beralasan).

Semua ini kelihatan sangat rapi, tetapi terdapat beberapa prinsip yang cukup alot yang tidak bisa kita abaikan begitu saja: Fungsi gelombang hamburan ini tidaklah ternormalisasi, sehingga fungsi gelombang tersebut tidak merepresentasikan keadaan partikel sebenarnya. Tetapi kita semua tahu bahwa pemecahan masalah ini adalah: kita harus membentuk kombinasi linier ternormalisasi dari keadaan stasioner, sama seperti yang telah kita lakukan pada kasus partikel bebas, partikel fisis yang sebenarnya direpresentasikan oleh paket gelombang yang dihasilkan. Pemecahan masalah secara langsung adalah sesuatu yang sangat sulit, dan kali ini cara yang paling baik adalah memecahkan masalah tersebut dengan menggunakan komputer. Sementara itu, selama tidak mungkin untuk menghasilkan partikel bebas ternormalisasi tanpa memasukkan jangkauan energi, R dan T sebaiknya diinterpretasikan sebagai perkiraan probabilitas refleksi dan transmisi untuk partikel dalam jangkauan sempit energy di sekitar nilai E. Biasanya, ini akan menjadi gangguan kita dalam menganalisis permasalahan kebergantungan terhadap waktu secara esensial menggunakan keadaan stasioner(partikel datang, terhambur oleh potensial, dan kemudian bergerak menuju titik tak terhingga). Sehingga, $\psi$ (dalam Persamaan 2.113 dan 2.114) secara sederhana adalah fungsi sinusoidal komplek, tidak bergantung terhadap waktu, perluasan menuju kedua titik tak berhingga (dengan konstanta amplitudo). Dan sebelumnya, dengan menentukan syarat batas yang sesuai pada fungsi tersebut, kita bisa menentukan probabilitas bahwa partikel akan terpantul atau melewati dinding potensial (tentunya direpresentasikan oleh paket gelombang terlokalisasi). Di balik semua ini adalah hanya keajaiban matematis saja, yang menunjukkan fakta bahwa dengan menggunakan kombinasi linier dari keadaan yang tersebar dalam semua ruang, dan secara esensial bergantung terhadap waktu, kita bisa membangun fungsi gelombang yang terkonsentrasi di suatu titik (bergerak), dengan sedikit perilaku yang rumit terhadap waktu.

Gambar 2.11. Rintangan fungsi delta

Setelah semua yang kita lakukan, di mana kita telah mempunyai persamaan yang sesuai dengan keadaan partikel, marilah sejenak kita lihat kasus rintangan fungsi delta secara singkat (Gambar 2.11). Formalnya, semua yang harus kita lakukan adalah mengubah tanda $\alpha$ . Tentunya ini akan menghilangkan keadaan terikat. Dengan kata lain, koefisien transmisi dan refleksi yang hanya bergantung pada $\alpha^{2}$ , tidak akan berubah. Dengan kasar dapat kita katakan bahwa partikel hanya berperilaku untuk melewati rintangannya seperti menembus dinding. Secara klasik, tentunya partikel tidak akan bisa melewati dinding yang memiliki energi potensial yang lebih besar dari pada energi partikel tersebut. Dengan demikian, permasalahan hamburan klasik adalah sangat tidak sesuai: Jika $E > V_{maks}$ , maka $T = 1$ dan $R = 0$ dan partikel benar-benar melewati dinding potensial, sebaliknya jika $E < V_{maks}$ maka $T = 0$ dan $R = 1$ partikel akan terpental dari dinding. Permasalahan hamburan kuantum lebih dari itu, partikel memiliki probabilitas tidak nol dalam melewati dinding potensial walaupun $E < V_{maks}$ . Kita namakan peristiwa ini dengan fenomena penembusan (tunneling), inilah mekanisme yang memungkinkan pada sebagian besar elektronika modern, yang tidak disebutkan dalam perkembangan spektakuler terkini dalam mikroskopi. Sebaliknya, bahkan jika $E > V_{maks}$ , terdapat kemungkinan bahwa partikel akan terpantul kembali.

[13]Jika kamu sangat berhati-hati dan sangat tidak puas mengenai pernyataan ini, mungkin kamu harus ingat bahwa teorema umum yang mensyaratkan $E > V_{min}$ (Soal 2.2) tidak dapat diterapkan pada keadaan terhambur, karena keadaan tersebut tentunya tidak ternormalisasi. Jika ini mengganggumu, cobalah untuk menyelesaikan persamaan Shroedinger dengan $E < 0$ , untuk partikel bebas, dan ingat bahwa kombinasi linier genap dari solusi ini tidak dapat ternormalisasi. Energi positifnya merupakan set yang komplit.

[14]Fungsi delta dapat dapat didefinisikan sebagai sekumpulan dari beberapa fungsi, seperti fungsi kotak (atau segitiga) dengan ketinggian yang sangat tinggi dan lebar yang sangat sempit.

[15]Ini bukanlah normalisasi fungsi gelombang, sehingga probabilitas absolut untuk menemukan partikel pada sutu titik tertentu tidaklah terdefinisi dengan benar, namun demikian, rasio dari probalitas untuk dua lokasi yang berbeda dapat diterima.

Let's Playing Physics with Jhinie's Blog

Senin, 31 Oktober 2016

Persamaan Schrodinger Tidak Bergantung Waktu

0 komentar:

Posting Komentar

Blog Archive

Mengenai Saya

BTemplates.com

Blogger templates

Blogroll

Pages

Blog Archive

Blogroll

About